罗素悖论与第三次数学危机

1、无理数作为无限不循环小数，超出人们对整数比的直观感受，进而暴露数学理论中存在的问题：离散的数量概念的片面性.而芝诺悖论更为全面地揭示了：离散和连续都必然导致矛盾，其中，二分法悖论和阿基里斯悖论揭示了连续的片面性，飞矢不动悖论和运动场悖论揭示了离散的片面性.

2、康托创立集合论，是基于解决微积分的逻辑基础问题，为了使微积分里面采用的无穷小概念有一个清晰的逻辑基础。

3、三次危机可能告一段落，但新的悖论注定还会产生……

4、其问题的核心在于：无穷小量是否为零贝克莱所攻击的不仅是语言上欠缺明晰性，而是芝诺早就指出的：新的方法不能满足我们那种不间断的、不可分的、无所谓各个部分的关于连续的直觉观念，因为任何想把这种连续分成各个部分的企图，其结果都将破坏所要分析的真正性质这一问题随着之后“极限为0”这一概念的提出而渐渐解决.

5、00美国杰出数学家哥德尔于本世纪30年代提出了不完全性定理。

6、第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

7、罗素悖论的出现赫然指出康托尔集合论的缺漏之处，建立在康托尔集合论之上的数学大厦轰然崩塌，引发了第三次数学危机.(罗素悖论与第三次数学危机)。

8、其实直到今天，从整体上将罗素悖论还没有解决到令人满意的程度。但这个悖论确实推动了诸多数学基础研究的发展。

9、在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。

10、而罗素悖论的大白话版本也就是著名的理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

11、 宇宙一直在膨胀，为啥你不会受其影响而变胖？

12、在此基础上重新定义了微分和积分，也就是现在我们所学的微积分都是严格的，建立在极限的基础之上，无论是高中还是大学课本都是先引入极限的概念，在此基础上，继续学习微积分。这次数学危机促成了分析基础理论的完善。第三次数学危机所有的高中课本的第一节都是集合，而高中教材都会用一页纸的地方介绍集合论的创立人康托尔，康托尔的集合论也成为现代数学的基石，著名数学家庞加莱曾说过：借助集合论，我们可以建造整个数学大厦。这是对集合论最高的赞美。

13、危机微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。

14、但是，当时的微积分理论主要是建立在无穷小分析之上的，而无穷小分析后来证明是包含逻辑矛盾的。

15、没人会怀疑哥德巴赫猜想猜想在数学研究上的意义，哪怕这个命题看起来如此地枯燥，甚至独一无二。在解决过程中，这个问题的许多创造性想法，其实在别的地方几乎都不会用到，等于这个问题在数学上太过高冷，不愿意跟别的猜想产生瓜葛，自然哥德巴赫猜想最后就算解决了，也只是小范围的绚烂，不会对整个数论体系有太大的影响。我们在解决这个问题的过程中收集的线索，以及创造的方法， 都将留下人类的智慧杰作上。(罗素悖论与第三次数学危机)。

16、  从历史阶段上看，数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末，都是发生在西方文化大发展的时期，因此，数学危机的产生，都有其一定的文化背景。

17、界定标准是：如果村里的任一村民x，从出生到死亡都从来没有自己给自己刮过脸，即一生中都没有“自己给自己刮脸”的“劣迹”，那么，x是“不给自己刮脸的人”。

18、比如：他关于极限的语言尚显模糊，依靠了运动、几何直观的东西；缺乏实数理论。

19、整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

20、 “操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。

21、 运动场悖论：这一悖论的问题在于“从空间位移分析时间的流逝上面提及的B、C相对A各自是一个单位的时间流速，而B、C之间是两个时间单位.

22、除此而外, 还应该看到: 希尔伯特想把全部数学都纳入于公理化方法形式化的宏伟规划中去的愿望, 已经由奥地利数学家哥德尔(G¨odel) 在1931年发表的“不完全性定理”所表明: 那是永远不能彻底实现的。

23、然而, 远在欧几里得之前,在古代巴比伦人、埃及人和希腊人那里, 就已产生了公理化思想的萌芽。公元前六世纪时期, 希腊数学的鼻祖泰勒斯(Thales, 约公元前624 – 公元前547)就把逻辑论证引入于数学之中。及至希伯索斯(Hippasus) 发现无公度线段之后, 毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前580 — 公元前497) 学派即逐步认识到直观、经验和实践并非绝对可靠,希望对过去由经验而直接得到的几何知识都能够用严格的逻辑推理来加以证明。

24、后来随着微积分相关理论的严格建立，并从纯代数学上给予证明，才客服了第二次数学危机。

25、几十年后，罗素悖论产生，提出者当然是罗素。他指出：如果一个理发师只给不自己理发的人理发。那么他应该给自己理发吗？细心的人发现，这个理发师怎么做都不对，并且又符合集合的定义，这个悖论严重挑战了集合中的“确定性”！用集合的语言来说：如果存在一个集合A={x | x∉x }，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么A∈A，不满足A的特征性质。如果它不成立，A就满足了特征性质。后来，德国数学家策梅罗，寻找到一种解决办法，把集合论建立在一组公理之上，目的是回避悖论。后来通过一系列数学家的完善，形成了一个集合论的公理系统，在这个系统之内没有悖论。这套系统也叫做“ZF公理系统”

26、而成為了它的代替品的就是我們今天用的zfc。

27、从远古时代到现代，数学史上一共有三次危机。第一次是古希腊关于无理数的诞生产生的争论，第二次是微积分里无穷小量的争论，第三次就是19世纪关于集合论定义的争论。

28、00魏尔斯特拉斯用排除无穷小量的办法来解决贝克莱悖论，而在上世纪60年代，鲁滨逊又把无穷小量请了回来，引进了超实数的概念，从而建立了非标准分析，同样也能精确地描述微积分，进而也解决了贝克莱悖论。

29、古希腊是当时欧洲商业的中心, 在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中, 数学更加绚丽多彩。在数学发展史上, 最原始最有影响的公理系统, 是欧几里得(Euclid, 约公元前330 — 公元前275) 所建立的初等几何公理系统。这个公理系统乃是他的世界名著《原本》的理论基础。

30、分析学的奠基人，公认为法国多产的数学家柯西。柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。他在1821年——1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列基础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。这些定义基本上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写得的更加严格一点。柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

31、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。

32、从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

33、布劳威尔对数学对象的观点直接导出了他对数学所用的逻辑观点；认为“ 逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为，在真正的数学证明中不能使用排中律，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的规律，因此不能无限制的使用到无穷集上去。同样不能使用反证法。

34、                                   文字|吴浩芸

35、回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。

36、面对直觉主义者对数学基础可靠性的尖锐批评，希尔伯特认为经典数学，以及在集合论基础上发展起来的新数学，都是人类最有价值的精神财富，是不能丢弃的,他说：“禁止数学家使用排中原则，就像禁止天文学家使用望远镜和拳击家使用拳头一样。”

37、他经常质疑建立在排中律基础上的数学证明，称他们是“所谓的证明”。

38、1902年，罗素提出了一个著名的理发师悖论。在一个村子里有一位理发师，他只给那些不给自己理发的人理发，那么问题来了，这个理发师给不给自己理发呢？如果他给自己理发，那么这就违背了他只给那些不给自己理发的人理发这条原则；如果他不给自己理发，那么他自己就在他要去理发的那群人当中，这样也违反了他做理发师的原则。

39、另一种程序既能解释又能排除已知悖论。如果仔细地检查就会发现：上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论：用M标志理发师，用S标示所有成员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的——理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就是这里的成员。因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的，例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界(上确界)”。

40、而牛顿在创造微积分的时候，则引发了第二次数学危机，牛顿对于导数的定义并不太严密，比如说x2的导数,先将x取一个不为0的增量Δx,由(x+Δx)^2-x^2,得到2xΔx+(Δx)^2,后再被Δx除,得到2x+Δx,最后突然令Δx=0,求得导数为2x。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设Δx是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？

41、00第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。

42、00贝克莱攻击“无穷小”，其目的是为宗教神学作论证，而作为“贝克莱悖论”本身，则是一个思想方法问题。

43、00为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。

44、希尔伯特认为只要将数学形式化"构成形式系统"然后用一种有限性的方法，就能证明各个形式系统的兼容性，从而导出全部数学的无矛盾性。希尔伯特的雄心勃勃数学基础研究规划最终被哥德尔的不完备性定理所否定，但他为此而创立的证明论却开辟了一个数理逻辑的新领域。

45、看不懂？没关系，其实数学发展到二十世纪不是你我这类凡夫俗子能轻易理解的。为了通俗地让大众明白，罗素用人话开始解释：某村的理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。所有罗素悖论也被称之为“理发师悖论”。

46、数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

47、然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素(1872—1970)即宣布了一条惊人的消息：***论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。

48、悖论观点：大全集不存在，即包含一切集合的集合是否存在

49、十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。

50、公理化方法的形式化,不仅推动着数学基础的研究, 而且还推动着现代算法的研究, 并为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。然而, 含内容的公理学在一定场合下, 仍然是一种有用的数学方法, 它的功效和作用, 是不可能完全为形式化公理方法所代替的。欧几里德的初等几何公理系统, 在当前的中学数学教学中仍然具有重大参考价值。

51、就这么一个简单的逻辑事件，却深深地透露出一个问题，那么就是，即使我们对于逻辑的数学化建设耗费了如此巨大的精力，我们得出的很多结论仍然不是严密的，可能会有漏洞。很明显，这套悖论与康托尔的集合论是水火不容的，必须要建立一个一套更加严密的解决办法才能将这些矛盾统一在一起。也有许多人尝试过，但是都只是部分解决了这次危机。人们建立了两套公理体系，使得最大程度地适配这些悖论。

52、计划的最后一步是找到一个算法，可以机械化地判定数学陈述的对错，这被称为数学的可判定性。

53、罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。简单来说，承认无穷集合，承认无穷基数，看起来悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。这就是问题的矛盾所在。

54、罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

55、實質上未被推翻，但是最後被更嚴謹的極值公理取代。

56、罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。

57、为了这个目标，他制定了著名的希尔伯特计划。

58、18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。

59、由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误而造成的。

60、希尔伯特是在 23 岁时以一篇关于不变量理论的论文挤身数学界的，在这篇论文中，它使用了非构造性的证明，而他的证明正是依赖于对无穷的对象使用排中律。

61、第二次数学危机来源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。对于无穷小没办法做出透彻的解释。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。最典型的就是人追乌龟的问题。最后这个问题怎么解决的呢？经过柯西(微积分收官人)用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论得以发展和完善，从而使数学大厦变得更加辉煌美丽。

62、有数学家反对对无穷集合使用排中律,一场持久战1908 年，布劳威尔写出了一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》，这篇论文认为运用排中律的数学证明是不合理的。

63、罗素从集合元素的三大特性中发现了康托尔集合论中的一个BUG。集合S是由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。

64、悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现(通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性)。逻辑的几个基本概念发展过程,之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合(set)和类(collection)的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念(给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念)出现而言，尤其如此。